Influencia de errores

Actividad 3. Influencia de errores.

Muchas veces se nos presentan distintas posturas filosóficas, teorías matemáticas y físicas de cierta forma en la que es fácil entenderlas como si la realidad que percibimos a través de nuestros sentidos fuera una aproximación a un universo platónico y perfecto conformado por sólidos regulares, perfectamente continuos y delicadamente sincronizados con la que debemos conformarnos.

A lo largo del siglo XX ha habido varios momentos en el desarrollo de la física y la matemática que han puesto este punto a debate.

Determinismo y el demonio de Laplace.

El  5 de julio de 1687 el ilustre Sir Isaac Newton publica su obra llamada “Principia” donde presento las leyes de la mecánica celeste, entre otros temas, sentando así los principios del determinismo. Pues si conocemos la posición de dos planetas, distancia y movimiento, podemos predecir su comportamiento y así conocer eclipses, mareas y posición de estos cuerpos en el futuro

El determinismo es una doctrina filosófica que sostiene que todo acontecimiento físico, incluyendo el pensamiento y acciones humanas, están causalmente determinados por la irrompible cadena causa-consecuencia, y por tanto, el estado actual “determina” en algún sentido el futuro.

Pierre-Simón Laplace (1749-1827) fue un astrónomo, físico y matemático francés que inventó y desarrolló la transformada de Laplace y la ecuación de Laplace. Fue un ferviente creyente del determinismo causal, tal como puede apreciarse en la siguiente cita:

“Podemos mirar el estado presente del universo como el efecto del pasado y la causa de su futuro. Se podría concebir un intelecto que en cualquier momento dado conociera todas las fuerzas que animan la naturaleza y las posiciones de los seres que la componen; si este intelecto fuera lo suficientemente vasto como para someter los datos a análisis, podría condensar en una simple fórmula el movimiento de los grandes cuerpos del universo y del átomo más ligero; para tal intelecto nada podría ser incierto y el futuro así como el pasado estarían frente sus ojos.”

LaplaceEl intelecto es el demonio de Laplace un ser excepcional, que conoce segundo a segundo, cada hecho de la historia, desde el principio de los tiempos, la ubicación de cada mota de polvo y la opinión de todas las personas.

DemonioEste ser excepcional debiera ser capaz entonces de predecir con exactitud, que pasaría con todos y cada uno de nosotros en el futuro, que decisiones vamos a tomar y cómo van a afectar al resto de las personas nuestro actos.

El principio de incertidumbre de Heissenberg.

Werner Karl Heisenberg (1901 –1976) fue un físico alemán. Es conocido sobre todo por formular el principio de incertidumbre, una contribución fundamental al desarrollo de la teoría cuántica. Heisenberg fue galardonado con el Premio Nobel de Física en 1932. El principio de incertidumbre ejerció una profunda influencia en la física y en la filosofía del siglo XX.

HeisenbergEl principio formulado por Heisenberg demuestra que a nivel cuántico no es posible conocer de forma exacta el momento lineal y la posición de una partícula. O de forma más correcta, que es imposible conocer dichos valores más allá de cierto grado de certidumbre. A nivel cuántico las partículas no son pequeñas esferas, sino borrones. Si es posible fijar la posición de la partícula con total precisión será imposible conocer su velocidad. Si por el contrario se conoce su velocidad, no se sabrá a ciencia cierta en qué punto se halla.

PrincipioGráfico del Principio de Indeterminación de Heisenberg.

 Edward N. Lorenz, atractores extraños y la teoría del Caos.

Edward Norton Lorenz (1917 – 2008) fue un matemático y meteorólogo estadounidense, pionero en el desarrollo de la teoría del caos. Fue quien introdujo el concepto de atractores extraños y acuñó el término efecto mariposa.

LorentzConstruyó un modelo matemático muy simplificado, que intentaba capturar el comportamiento de la convección en la atmósfera. Lorenz estudió las soluciones de su modelo y se dio cuenta que alteraciones mínimas en los valores de las variables iniciales resultaban en soluciones ampliamente divergentes. Esta sensible dependencia de las condiciones iniciales fue conocida después como el efecto mariposa. Su investigación dio origen a un renovado interés en la Teoría del Caos.

Se denomina, por tanto, efecto mariposa a la amplificación de errores que pueden aparecer en el comportamiento de un sistema complejo. En definitiva, el efecto mariposa es una de las características del comportamiento de un sistema caótico, en el que las variables cambian de forma compleja y errática, haciendo imposible hacer predicciones más allá de un determinado punto, que recibe el nombre de horizonte de predicciones.

Atractores extraños

El atractor de Lorenz, concepto introducido por Edward Lorenz en 1963, es un sistema dinámico determinístico tridimensional no lineal derivado de las ecuaciones simplificadas de rollos de convección que se producen en las ecuaciones dinámicas de la atmósfera terrestre.

Para ciertos valores de los parámetros a, b, c el sistema exhibe un comportamiento caótico y muestra lo que actualmente se llama un atractor extraño; esto fue probado por W. Tucker en 2001. El atractor extraño en este caso es un fractal de dimensión de Hausdorff entre 2 y 3. Grassberger (1983) ha estimado la dimensión de Hausdorff en 2.06 ± 0.01 y la dimensión de correlación en 2.05 ± 0.01. El sistema aparece en láseres, en generadores eléctricos y en determinadas ruedas de agua.

Las ecuaciones que gobiernan el oscilador de Lorenz son:

atractorDonde a se conoce como Número de Prandtl y b como Número de Rayleigh. Tanto a como b y c > 0, pero usualmente a = 10, c = 8 / 3 y b varía. El sistema exhibe un comportamiento caótico para b = 28 pero muestra órbitas periódicas para otros valores de b; por ejemplo, con b = 99.96 se convierte en un nudo tórico llamado T(3,2). La forma de mariposa de la curva proyectada sobre el plano XY puede haber inspirado el nombre del efecto mariposa en la Teoría del Caos.

Mariposa

Teoría del caos.

Teoría del caos es la denominación popular de la rama de las matemáticas, la física y otras ciencias que tratan ciertos tipos de sistemas dinámicos muy sensibles a las variaciones en las condiciones iniciales. Pequeñas variaciones en dichas condiciones iniciales pueden implicar grandes diferencias en el comportamiento futuro, imposibilitando la predicción a largo plazo. Esto sucede aunque estos sistemas son en rigor determinísticos, es decir; su comportamiento puede ser completamente determinado conociendo sus condiciones iniciales.

 

El problema no. 2 de Hilbert y el teorema de incompletitud de Gödel

Kurt Gödel (1906 – 1978) fue un lógico, matemático y filósofo austriaco-estadounidense.

GodelReconocido como uno de los más importantes lógicos de todos los tiempos, el trabajo de Gödel ha tenido un impacto inmenso en el pensamiento científico y filosófico del siglo XX. Gödel, al igual que otros pensadores como Gottlob Frege, Bertrand Russell, A. N. Whitehead y David Hilbert intentó emplear la lógica y la teoría de conjuntos para comprender los fundamentos de la matemática. A Gödel se le conoce mejor por sus dos teoremas de la incompletitud, publicados en 1931 a los 25 años de edad, un año después de finalizar su doctorado en la Universidad de Viena.

Los teoremas de Incompletitud afirman que, bajo ciertas condiciones, ninguna teoría matemática formal capaz de describir los números naturales y la aritmética con suficiente expresividad, es a la vez consistente y completa. Es decir, si los axiomas de dicha teoría no se contradicen entre sí, entonces existen sentencias que no pueden probarse ni refutarse. Las teorías aritméticas para las que el teorema es válido son básicamente aquellas en las que la deducción de teoremas puede realizarse mediante un algoritmo.

Problema no. 2 de Hilbert

David Hilbert (1862 – 1943) fue un matemático alemán, reconocido como uno de los más influyentes del siglo XIX y principios del XX. Estableció su reputación como gran matemático y científico inventando o desarrollando un gran abanico de ideas, como la teoría de invariantes, la axiomatización de la geometría y la noción de espacio de Hilbert, uno de los fundamentos del análisis funcional. Hilbert y sus estudiantes proporcionaron partes significativas de la infraestructura matemática necesaria para la mecánica cuántica y la relatividad general. Fue uno de los fundadores de la teoría de la demostración, la lógica matemática y la distinción entre matemática y metamatemática. Adoptó y defendió vivamente la teoría de conjuntos y los números transfinitos de Cantor. Un ejemplo famoso de su liderazgo mundial en la matemática es su presentación en 1900 de un conjunto de problemas que establecieron el curso de gran parte de la investigación matemática del siglo XX.

HilbertLos problemas de Hilbert conforman una lista de 23 problemas matemáticos compilados por  Hilbert para la conferencia en París del Congreso Internacional de Matemáticos de 1900.

El problema número 2 de Hilbert consiste en probar que los axiomas de la aritmética son consistentes (esto es, que la aritmética es un sistema formal que no supone una contradicción). Actualmente se encuentra parcialmente resuelto: hay quienes sostienen que se ha demostrado imposible de establecer en un sistema consistente, finitista y axiomático;

 

Conclusión

Laplace, crearía un demonio determinista conocido como  El demonio de Laplace un ser con poderes sobrehumanos capaz de predecir el futuro analizando el estado presente de las cosas, de entender el pasado estudiando el presente, este ser es determinístico, nuestro libre albedrio nada tiene que hacer pues ya estamos determinados desde que nacimos, este demonio ya conoce cuando y como vamos a dejar este mundo.

Por otro lado, el principio de incertidumbre de heisenber se ríe de este demonio al afirmar que a nivel cuántico no es posible conocer la posición y la velocidad al mismo tiempo de una partícula, si fijamos la posición de la partícula con total precisión será imposible conocer su velocidad. Si por el contrario se conoce su velocidad, no se sabrá a ciencia cierta en qué punto se halla.

Hasta nuestros días ningún determinista a encontrado el demonio de Laplace, pero han tratado de buscarle alternativas al fabricar maquinas capaces de realizar cálculos a supervelocidades y mediante algoritmos intentar predecir el clima,  el comportamiento de la bolsa de valores, etc.

Estas máquinas conocidas como computadoras, tablets y teléfonos celulares están hoy día en todas las actividades de nuestra vida y podemos decir que en ocasiones tomamos decisiones a partir de estas máquinas.

Sin embargo, la teoría del caos  afirma que pequeñas variaciones en las  condiciones iniciales de un sistema dinámico pueden implicar grandes diferencias en el comportamiento futuro, imposibilitando la predicción a largo plazo

“si una mariposa bate sus alas en Pekín, se puede desencadenar un huracán en Miami”

No nos olvidemos pues que pequeños errores de redondeo en los cálculos de un algoritmo instalado en una maquina puede llevarnos a tomar decisiones catastróficas.

Gerardo Molina Salcido.

AL11506928.

 

Fuentes Electronicas

http://cainista.blogspot.mx/2006/07/el-demonio-de-laplace.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Pierre_Simon_Laplace

http://cainista.blogspot.mx/2006/07/el-demonio-de-laplace.html

http://www.juevesfilosofico.com/el-demonio-de-laplace-el-determinismo-y-el-libre-albedrio/

http://www.ciencia-ficcion.com/glosario/p/prinince.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Werner_Heisenberg

http://www.ecured.cu/index.php/Edward_Norton_Lorenz

http://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/Rincon-C/Curiosid/Rc-50.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_del_caos

http://www.togores.net/vl/curso/lisp/autolisp-visual-lisp/curvas/atractor-de-lorenz

http://www.ecured.cu/index.php/Teorema_de_Incompletitud

http://es.wikipedia.org/wiki/Problemas_de_Hilbert

http://es.wikipedia.org/wiki/Problemas_de_Hilbert

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